Halbwertszeit und radioaktiver Zerfall: Rechenwege für die Physikklausur

Kurz gesagt: Nach jeder Halbwertszeit ist noch die Hälfte der Kerne übrig, nach n Halbwertszeiten also (1/2)ⁿ. Für ganzzahlige Vielfache rechnest du das im Kopf, für krumme Zeiten nutzt du N(t) = N₀ · e^-λt mit λ = ln 2 / T_1/2. Die Aktivität ist A = λ · N und fällt mit derselben Halbwertszeit. Für Radiopharmaka im Körper gilt die effektive Halbwertszeit: 1/T_eff = 1/T_phys + 1/T_biol.

Radioaktivität steht in fast jeder Physikklausur der Vorklinik, und die Aufgaben folgen wenigen Mustern. Wer diese Muster einmal sauber durchgerechnet hat, holt die Punkte in wenigen Minuten. Der Stoff kommt im Physikum wieder, in der Radiologie, der Nuklearmedizin und für Zahnmediziner beim Strahlenschutz.

Was sagt das Zerfallsgesetz aus?

Radioaktiver Zerfall ist ein Zufallsprozess. Für einen einzelnen Kern kannst du nicht vorhersagen, wann er zerfällt, für sehr viele Kerne aber sehr wohl, wie viele pro Zeit zerfallen. Die Zahl der Zerfälle ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne. Daraus folgt ein exponentieller Abfall:

N(t) = N₀ · e^-λt

λ ist die Zerfallskonstante in 1/s. Die Halbwertszeit T_1/2 ist die Zeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen ist. Beide hängen über T_1/2 = ln 2 / λ zusammen, mit ln 2 ≈ 0,693. Manche Aufgaben fragen zusätzlich nach der mittleren Lebensdauer τ = 1/λ, die etwa 1,44-mal so lang ist wie die Halbwertszeit.

Die gleichwertige Schreibweise mit Zweierpotenzen ist im Kopf meist schneller: N(t) = N₀ · (1/2)^t/T. Bei t = 3 T bleibt ein Achtel übrig, bei 10 T ungefähr ein Tausendstel (1/1024).

Wie rechnest du Aktivität und Restmenge?

Die Aktivität A gibt die Zahl der Zerfälle pro Sekunde an, Einheit Becquerel (1 Bq = 1 Zerfall/s). Sie hängt mit der Zahl der Kerne zusammen: A = λ · N. Weil λ konstant ist, fällt A genau wie N mit derselben Halbwertszeit.

Ein Beispiel aus der Nuklearmedizin: Technetium-99m hat eine physikalische Halbwertszeit von etwa 6 Stunden. Eine Spritze hat um 8 Uhr eine Aktivität von 800 MBq. Wie hoch ist sie um 20 Uhr?

1. Vergangene Zeit: 12 Stunden, also 2 Halbwertszeiten.
2. Restanteil: (1/2)² = 1/4.
3. Aktivität: 800 MBq / 4 = 200 MBq.

Nicht ganzzahlig wird es bei 9 Stunden: t/T = 1,5. (1/2)^1,5 ≈ 0,354, also rund 283 MBq. Wer keinen Taschenrechner hat, schätzt: zwischen einer und zwei Halbwertszeiten, also zwischen 400 und 200 MBq, eher näher an 200. In MC-Fragen reicht das fast immer.

Umgekehrt wird auch gefragt: Wie lange dauert es, bis von 800 MBq nur noch 50 MBq übrig sind? 800 → 400 → 200 → 100 → 50 sind vier Halbierungen, also 24 Stunden. Bei krummen Verhältnissen nimmst du den Logarithmus: t = T_1/2 · log₂(A₀/A). Diese Umkehrung ist in Klausuren beliebter als die Vorwärtsrechnung, weil sie zeigt, ob du das Gesetz wirklich verstanden hast.

Was ist die effektive Halbwertszeit?

Im Körper nimmt die Aktivität eines Radiopharmakons aus zwei Gründen ab: Die Kerne zerfallen, und der Körper scheidet die Substanz aus. Beide Prozesse laufen parallel, ihre Raten addieren sich. Deshalb addierst du die Kehrwerte:

1/T_eff = 1/T_phys + 1/T_biol

Beispiel: Physikalische Halbwertszeit 8 Tage, biologische 24 Tage. 1/T_eff = 1/8 + 1/24 = 3/24 + 1/24 = 4/24. T_eff = 6 Tage.

Eine schnelle Kontrolle: Die effektive Halbwertszeit ist immer kürzer als die kürzere der beiden. Wenn bei dir ein Wert herauskommt, der zwischen beiden liegt, hast du einfach gemittelt. Das ist der häufigste Fehler bei diesem Aufgabentyp. Sind beide gleich, halbiert sich die Zeit genau.

Radioaktivität, Strahlenschutz und die übrigen Kapitel der Vorklinik-Physik sind im Kurs Physik für Mediziner mit Rechenbeispielen aufbereitet.

Welche Strahlungsarten und Dosisgrößen musst du kennen?

Rechenaufgaben werden oft mit Verständnisfragen kombiniert. Diese Unterscheidungen solltest du sicher können:

• Alphastrahlung: Heliumkerne, sehr kurze Reichweite im Gewebe, hohe biologische Wirksamkeit. Gefährlich vor allem nach Inkorporation.
• Betastrahlung: Elektronen (β^-) oder Positronen (β⁺). Positronen zerstrahlen mit Elektronen zu zwei Photonen mit je 511 keV, darauf beruht die PET.
• Gammastrahlung: Photonen aus dem Kern, durchdringend, Abschirmung mit Blei.
• Energiedosis in Gray (Gy = J/kg): absorbierte Energie pro Masse.
• Äquivalentdosis und effektive Dosis in Sievert (Sv): berücksichtigen Strahlungsart und Empfindlichkeit der Organe.

Für die Abschirmung gilt bei Photonen das Schwächungsgesetz I = I₀ · e^-μd. Es hat dieselbe Form wie das Zerfallsgesetz, nur mit der Dicke statt der Zeit. Statt der Halbwertszeit gibt es die Halbwertsdicke. Wer das eine kann, kann das andere, und die Klausur fragt gern beides hintereinander.

Wo taucht dieselbe Mathematik in Medizin und Zahnmedizin wieder auf?

Exponentieller Abfall mit Halbwertszeit ist eines der wiederkehrenden Muster im Studium. In der Pharmakologie beschreibt die Eliminationshalbwertszeit, wie schnell der Plasmaspiegel eines Medikaments sinkt. Nach etwa fünf Halbwertszeiten sind rund 97 Prozent eliminiert, und nach derselben Zeit stellt sich bei regelmäßiger Gabe ein Steady State ein. In der Physiologie folgt die Entladung eines Kondensators demselben Gesetz, und damit auch Modelle der Nervenmembran.

Für Zahnmediziner kommt der Strahlenschutz hinzu: Röntgenstrahlung entsteht zwar nicht durch Kernzerfall, die Schwächung im Gewebe und die Dosisbegriffe sind aber dieselben. Wer im ersten Semester die Exponentialfunktion verstanden hat, spart sich später viel Lernzeit.

Zum Üben vor dem Studienstart: Rechne je fünf Aufgaben mit ganzzahligen Halbwertszeiten, mit krummen Zeiten und zur effektiven Halbwertszeit. Danach schreib dir die drei Formeln aus dem Gedächtnis auf. Sitzen sie, ist das Thema erledigt.

Häufige Fragen

Wie berechne ich die Restmenge nach einer krummen Zeit?

Teile die Zeit durch die Halbwertszeit und setze das Ergebnis als Exponent ein: N = N0 · (1/2) hoch (t/T). Ohne Taschenrechner schätzt du zwischen den benachbarten ganzzahligen Halbwertszeiten.

Was ist der Unterschied zwischen Becquerel und Sievert?

Becquerel misst die Aktivität einer Quelle, also Zerfälle pro Sekunde. Sievert beschreibt die biologisch gewichtete Dosis, die ein Mensch erhält. Die Größen sind nicht direkt ineinander umrechenbar.

Warum ist die effektive Halbwertszeit kürzer als die physikalische?

Weil zum radioaktiven Zerfall noch die Ausscheidung aus dem Körper hinzukommt. Beide Prozesse senken die Aktivität gleichzeitig, deshalb addieren sich ihre Raten.

Wie viele Halbwertszeiten braucht es, bis fast nichts mehr übrig ist?

Nach fünf Halbwertszeiten sind etwa 3 Prozent übrig, nach zehn ungefähr ein Tausendstel. Diese Faustregeln reichen für die meisten Schätzaufgaben.

Kommt Radioaktivität auch in der Physik für Zahnmediziner vor?

Ja. Die Physik im ersten Semester ist in Medizin und Zahnmedizin sehr ähnlich. Für Zahnmediziner ist zusätzlich Röntgenphysik mit Schwächungsgesetz und Dosisbegriffen wichtig, weil sie im Studium und im späteren Röntgenschein gebraucht wird.

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Dieser Beitrag dient der Prüfungsvorbereitung im Studium. Er ersetzt keine ärztliche oder zahnärztliche Entscheidung. Verbindlich sind die Vorgaben deiner Fakultät, die Gegenstandskataloge des IMPP beziehungsweise die ZApprO sowie aktuelle Lehrbücher, Leitlinien und Fachinformationen.